[דותן]

#1497 הגב |

זו השאלה:
A certain square is to be drawn on a coordinate plane. One of the vertices must be on the origin, and the square is to have an area of 100. If all coordinates of the vertices must be integers, how many different ways can this square be drawn?

אשמח להסבר איך הגעתם לפתרון כמובן

[יואב חורש]

#1705 הגב |

למיטב הבנתי התשובה היא 8.
אם שטחו של הריבוע הוא 100, הרי שהצלע היא 10.
קודם כל ישנן את 4 האפשרויות "הרגילות" כשפעם ראשונה, אחת מצלעותיו של הריבוע מתלכדת עם ציר ה- x והאחרת מתלכדת עם ציר ה- y' והריבוע נמצא מימין לציר ה-y ומעל ציר ה- x, ואפשרות נוספת שהריבוע משמאל לציר ה- y ומעל לציר ה- x. ובאותו האופן גם פעם נוספת שהריבוע מתחת לציר ה- x ומימין לציר ה- y, ופעם רביעית שהריבוע מתחת לציר ה- x ומשמאל לציר ה- y. אני משער של-4 האפשרויות הללו הגעת.
4 אפשרויות נוספות הן כאשר הצלע של הריבוע היא אלכסונית (ואינה מתלכדת עם הצירים ואינה מקבילה להם) וכדי שכל המרכיבים יהיהו מספרים שלמים נוכל ליצור משולש ששני ניצביו הם 8 ו- 6 ואז היתר (שהוא צלע הריבוע) הוא 10 (השלשה הפיתגורית 5:4:3 שהורחבה פי 2). כך אחד הקודקודים של הריבוע הוא בנקודה (8,6), קודקוד נוסף ב- (0,12) קודקוד נוסף ב- (6,-8) ואחד הדוקדקודים נמצא (כאמור) בראשית הצירים.
באותו האופן אפשר ליצור עוד 3 אפשרויות לריבועים נוספים.

[דותן]

#1706 הגב |

אחרי חשיבה רבה התשובה היא 12, וזה קורה כי 10 הוא חלק מהשלשה הפיתגורית 3:4:5 ולכן הערכים 6:8:10 תקפים.
כמו שיואב אמר הנקודה שמונה ושש תקינה, אך גם שש ושמונה. לכן יש 4+4+4 אפשרויות.

תודה ובהצלחה 🙂

[מאת]

תגובות